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Chatbot Combinatoire
Chatbot Équations Différentielles du 1er ordre à coefficients réels
Carte Méthode: Équation différentielle
On cherche à résoudre l'équation différentielle \(y'+y=(2x+3)e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).
On va vérifier d'abord que la fonction \(y_p\) définie par \(y_p(x)=(x^2+3x)e^{-x}\) est une solution particulière de cette équation.
Étape 1
Présentation des étapes de résolution
La résolution se déroule en 3 temps :
1. Trouver les solutions de l'équation homogène \(y'+y=0\).
2. Vérifier que \(y_p\) est une solution particulière.
3. Additionner les deux pour la solution générale.
1. Trouver les solutions de l'équation homogène \(y'+y=0\).
2. Vérifier que \(y_p\) est une solution particulière.
3. Additionner les deux pour la solution générale.
Étape 2
Résoudre l'équation homogène associée
L'équation homogène est \(y' + y = 0\).
Les solutions sont de la forme \(y_h(x) = C e^{-x}\), avec \(C \in \mathbb R\).
Les solutions sont de la forme \(y_h(x) = C e^{-x}\), avec \(C \in \mathbb R\).
Étape 3
Calculer la dérivée de la solution particulière \(y_p\)
On nous donne \(y_p(x) = (x^2+3x)e^{-x}\).
En utilisant la formule de dérivation d'un produit \((uv)'=u'v+uv'\), on a :
\(y_p'(x) = (2x+3)e^{-x} - (x^2+3x)e^{-x}\)
En utilisant la formule de dérivation d'un produit \((uv)'=u'v+uv'\), on a :
\(y_p'(x) = (2x+3)e^{-x} - (x^2+3x)e^{-x}\)
Étape 4
Vérifier que \(y_p\) est bien solution
On calcule \(y_p'(x) + y_p(x)\) :
\((2x+3)e^{-x} - (x^2+3x)e^{-x} + (x^2+3x)e^{-x}\)
\((2x+3)e^{-x} - (x^2+3x)e^{-x} + (x^2+3x)e^{-x}\)
Étape 5
Simplifier l'expression
Les termes \(-(x^2+3x)e^{-x}\) et \(+(x^2+3x)e^{-x}\) s'annulent.
Il reste : \(y_p'(x) + y_p(x) = (2x+3)e^{-x}\).
C'est bien le second membre de l'équation initiale. \(y_p\) est donc bien une solution particulière.
Il reste : \(y_p'(x) + y_p(x) = (2x+3)e^{-x}\).
C'est bien le second membre de l'équation initiale. \(y_p\) est donc bien une solution particulière.
Étape 6
Conclure avec la solution générale
La solution générale est \(y(x)=y_h(x)+y_p(x)\).
\(y(x)=Ce^{-x}+(x^2+3x)e^{-x}\)
Soit \(y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}\).
\(y(x)=Ce^{-x}+(x^2+3x)e^{-x}\)
Soit \(y(x)=(x^2+3x+C)e^{-x}\).
Carte Méthode: Suite arithmético-géométrique
On étudie la suite définie par \(u_{0} = 600\) et pour \(n \in \mathbb N\), \(u_{n+1} = 0,9u_n+100\).
On pose \(v_n=u_n-1000\). Montrons que \((v_n)\) est une suite géométrique pour en déduire sa forme explicite, puis celle de \((u_n)\).
Étape 1
Exprimer \(v_{n+1}\) et substituer \(u_{n+1}\):
\(v_{n+1}=u_{n+1}-1000\)
\(v_{n+1}=(0,9u_{n}+100)-1000\)
\(v_{n+1}=(0,9u_{n}+100)-1000\)
Étape 2
Simplifier:
\(v_{n+1}=0,9u_{n}+100-1000\)
\(v_{n+1}=0,9u_{n}-900\)
\(v_{n+1}=0,9u_{n}-900\)
Étape 3
Factoriser par le coefficient de \(u_n\):
\(v_{n+1}=0,9u_{n}-900\)
\(v_{n+1}=0,9(u_{n}-\dfrac{900}{0,9})\)
\(v_{n+1}=0,9(u_{n}-1000)\)
\(v_{n+1}=0,9(u_{n}-\dfrac{900}{0,9})\)
\(v_{n+1}=0,9(u_{n}-1000)\)
Étape 4
Faire apparaitre \(v_n\) et conclure:
\(v_{n+1}=0,9(u_{n}-1000)\)
\(v_{n+1}=0,9 v_n\)
\((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,9.
\(v_{n+1}=0,9 v_n\)
\((v_n)\) est une suite géométrique de raison 0,9.
Étape 5
Calcul de \(v_0\):
\(v_0=u_0-1000\)
\(v_0=600-1000\)
\(v_0=-400\)
\(v_0=600-1000\)
\(v_0=-400\)
Étape 6
Forme explicite de \(v_n\):
Puisque \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0,9\) et de premier terme \(v_0=-400\):
On a \(v_n=v_0 \times q^n = -400 \times 0,9^n\).
On a \(v_n=v_0 \times q^n = -400 \times 0,9^n\).
Étape 7
Forme explicite de \(u_n\):
On sait que \(v_n=u_n-1000\), donc \(u_n=v_n+1000\).
On en déduit :
\(u_n=-400 \times 0,9^n + 1000\).
On en déduit :
\(u_n=-400 \times 0,9^n + 1000\).