Toutes les Flashcards de Spécialité de Terminale

Calculs de dérivées

$ f(x) = x^n $

$ f'(x) = nx^{n-1} $

$ f(x) = \sqrt{x} $

$ f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} $

$ f(x) = \dfrac{1}{x} $

$ f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} $

$ f(x) = \dfrac{1}{x^4} $

$ f'(x) = -\dfrac{4}{x^5} $

$\dfrac{u}{v} $

$\dfrac{u'\times v-u \times v'}{v^2} $

$ f(x) = e^{-3x} $

$ f'(x) = -3e^{-3x} $

$u \times v $

$u' \times v + u \times v' $

$ f(x) = 4x^5 $

$ f'(x) = 20x^4 $

$ f(x) = \sqrt{7x-1} $

$ f'(x) = \dfrac{7}{2\sqrt{7x-1}} $

$ f(x) = (-4x+3)^7 $

$ f'(x) = -28(-4x+3)^6 $

Dérivées de fonctions composées

$ \left(\dfrac{1}{u}\right)' $

$ -\dfrac{u'}{u^2} $

$ (u^n)' $

$ n \times u' \times u^{n-1} $

$ (e^u)' $

$ u' \times e^u $

$ (\sqrt{u})' $

$ \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} $

$ (\ln(u))' $

$ \dfrac{u'}{u} $

$ (v(u(x)))' $

$ u'(x) \times v'(u(x)) $

$ \left(e^{x^2-3x+1}\right)' $

$ (2x-3)e^{x^2-3x+1} $

$ \left(\dfrac{1}{3x-2}\right)' $

$ -\dfrac{3}{(3x-2)^2} $

$ \left((5x^2 - 2x + 1)^4\right)' $

$ 4(10x - 2)(5x^2 - 2x + 1)^3 $

$ (\ln(x-3))' $

$ \dfrac{1}{x-3} $

Courbes de fonctions usuelles

$f(x) = e^x$

$f(x) = \frac{1}{x}$

$f(x) = x^2$

$f(x) = x^3$

$f(x) = |x|$

$f(x) = \sqrt{x}$

$f(x) = x$

$f(x) = \ln(x)$

$f(x) = \cos(x)$

$f(x) = \sin(x)$

Probabilités

$P_B(A)$ =...

La probabilité de A sachant B :

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Condition : $P(B) \neq 0$

Quand A et B sont-ils indépendants ?

A et B sont indépendants si :

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

ou $P_B(A) = P(A)$.

Que représente 0,8 sur cet arbre ?

C'est la probabilité que $ \bar{B} $ se réalise sachant que $ \bar{A} $ est déjà réalisé.

On la note :

$$ P_{\bar{A}}(\bar{B}) = 0,8 $$

Complétez l'arbre:

$ P(A \cup B) = ? $

$$ P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Comment calculer P(A) ?

$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Quand utiliser une loi binomiale ?

On répète $n$ fois de manière indépendante une épreuve à deux issues (succès/échec).

$X$ = nombre de succès.

Si $X \sim \mathcal{B}(n, p)$, $P(X=k) = ?$

$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

Espérance, variance, écart-type de $ \mathcal{B}(n, p)$ ?

Espérance : $ E(X) = np $

Variance : $ V(X) = np(1-p) $

Écart-type : $ \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} $

Signification de $ \cap $ et $ \cup $ ?

$ A \cap B $ : A et B (les deux en même temps)

$ A \cup B $ : A ou B (au moins l'un des deux)

Combinatoire et Dénombrement

k-uplets (ou p-listes)

Combien de listes ordonnées de $k$ éléments peut-on former à partir d'un ensemble de $n$ éléments (avec répétition) ?

Il y a $n$ choix pour chacun des $k$ éléments de la liste.

\[n^k\]

Code PIN

Combien de codes secrets à 4 chiffres peut-on former (chiffres de 0 à 9) ?

k-uplets

Liste ordonnée de $k=4$ éléments pris parmi $n=10$, avec répétition.

\[10^4 = 10\,000\]

Arrangements

Combien de listes ordonnées de $k$ éléments distincts peut-on former à partir d'un ensemble de $n$ éléments (sans répétition) ?

C'est le nombre d'arrangements de $k$ parmi $n$, noté $A_n^k$.

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]

Podium

Dans une course de 8 athlètes, combien de podiums possibles (Or, Argent, Bronze) ?

Arrangement

Liste ordonnée de $k=3$ athlètes distincts choisis parmi $n=8$.

\[A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\]

Combinaisons

Combien de sous-ensembles (sans ordre) de $k$ éléments peut-on former à partir d'un ensemble de $n$ éléments ?

C'est le nombre de combinaisons de $k$ parmi $n$, noté $\binom{n}{k}$.

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Loto

On tire 5 boules parmi 49. L'ordre ne compte pas. Combien de grilles possibles ?

Combinaisons

On choisit un sous-ensemble de $k=5$ boules parmi $n=49$.

\[\binom{49}{5} = 1\,906\,884\]

Permutations

De combien de manières peut-on ordonner les $n$ éléments distincts d'un ensemble ?

C'est un arrangement de $n$ parmi $n$.

\[n!\]

Anagrammes

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot "MATHS" ?

Permutation

Il s'agit de trouver tous les ordres possibles des $n=5$ lettres.

\[5! = 120\]

Ensemble des parties

Combien y a-t-il de sous-ensembles dans un ensemble à $n$ éléments ?

On somme les combinaisons pour toutes les tailles $k$ possibles.

\[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\]

Pizza

Une pizzeria propose 6 ingrédients au choix. Combien de pizzas différentes peut-on composer (avec entre 1 et 6 ingrédients) ?

Ensemble des parties

On cherche le nombre total de sous-ensembles d'ingrédients possibles parmi $n=6$.

\[2^6 = 64\]

Python

for i in range(5):
    print(i)


nombres = [10, 20, 5]
somme = 0
for n in nombres:
    somme = somme + n
print(somme)

c = 3
while c > 0:
    print(c)
    c = c - 1
print("Go !")

3
2
1
Go !

ma_liste = [10, 20, 30]
ma_liste[1] = 25
ma_liste.append(40)
print(ma_liste)

[10, 25, 30, 40]

def fonction(n):
    return n * n

resultat = fonction(9)
print(resultat)

nombres = [1, 12, 8, 15]
for n in nombres:
    if n > 10:
        print(n)

12
15


u = 10
n = 0
while u <= 50:
    u = u + 5
    n = n + 1
print(n)


u = 5
n = 0
while u <= 1000:
    u = u * 2
    n = n + 1
print(n)


u = 100
n = 0
while u > 0:
    u = u - 7
    n = n + 1
print(n)


fonction = [x**2 for x in range(5)]
print(fonction)

[0, 1, 4, 9, 16]