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Toutes les Flashcards de Spécialité de Terminale

Calculs de dérivées

\( f(x) = x^n \)
\( f'(x) = nx^{n-1} \)
\( f(x) = \sqrt{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
\( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \)
\( f(x) = \dfrac{1}{x^4} \)
\( f'(x) = -\dfrac{4}{x^5} \)
\(\dfrac{u}{v} \)
\(\dfrac{u'\times v-u \times v'}{v^2} \)
\( f(x) = e^{-3x} \)
\( f'(x) = -3e^{-3x} \)
\(u \times v \)
\(u' \times v + u \times v' \)
\( f(x) = 4x^5 \)
\( f'(x) = 20x^4 \)
\( f(x) = \sqrt{7x-1} \)
\( f'(x) = \dfrac{7}{2\sqrt{7x-1}} \)
\( f(x) = (-4x+3)^7 \)
\( f'(x) = -28(-4x+3)^6 \)

Dérivées de fonctions composées

\( \left(\dfrac{1}{u}\right)' \)
\( -\dfrac{u'}{u^2} \)
\( (u^n)' \)
\( n \times u' \times u^{n-1} \)
\( (e^u)' \)
\( u' \times e^u \)
\( (\sqrt{u})' \)
\( \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} \)
\( (\ln(u))' \)
\( \dfrac{u'}{u} \)
\( (v(u(x)))' \)
\( u'(x) \times v'(u(x)) \)
\( \left(e^{x^2-3x+1}\right)' \)
\( (2x-3)e^{x^2-3x+1} \)
\( \left(\dfrac{1}{3x-2}\right)' \)
\( -\dfrac{3}{(3x-2)^2} \)
\( \left((5x^2 - 2x + 1)^4\right)' \)
\( 4(10x - 2)(5x^2 - 2x + 1)^3 \)
\( (\ln(x-3))' \)
\( \dfrac{1}{x-3} \)

Courbes de fonctions usuelles

\(f(x) = e^x\)
\(f(x) = \frac{1}{x}\)
\(f(x) = x^2\)
\(f(x) = x^3\)
\(f(x) = |x|\)
\(f(x) = \sqrt{x}\)
\(f(x) = x\)
\(f(x) = \ln(x)\)
\(f(x) = \cos(x)\)
\(f(x) = \sin(x)\)

Probabilités

\(P_B(A)\) =...

La probabilité de A sachant B :

$$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

Condition : \(P(B) \neq 0\)

Quand A et B sont-ils indépendants ?

A et B sont indépendants si :

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$

ou \(P_B(A) = P(A)\).

Que représente 0,8 sur cet arbre ?

A
\( \bar{A} \)
B
\( \bar{B} \)
B
\( \bar{B} \)
0,60,40,30,70,20,8

C'est la probabilité que \( \bar{B} \) se réalise sachant que \( \bar{A} \) est déjà réalisé.

On la note :

$$ P_{\bar{A}}(\bar{B}) = 0,8 $$

Complétez l'arbre:

A
\( \bar{A} \)
B
\( \bar{B} \)
B
\( \bar{B} \)
0,60,30,8???
A
\( \bar{A} \)
B
\( \bar{B} \)
B
\( \bar{B} \)
0,60,30,80,40,70,2

\( P(A \cup B) = ? \)

$$ P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

Comment calculer P(A) ?

$$ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $$

Quand utiliser une loi binomiale ?

On répète \(n\) fois de manière indépendante une épreuve à deux issues (succès/échec).

\(X\) = nombre de succès.

Si \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\), \(P(X=k) = ?\)

$$ \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$

Espérance, variance, écart-type de \( \mathcal{B}(n, p)\) ?

Espérance : \( E(X) = np \)

Variance : \( V(X) = np(1-p) \)

Écart-type : \( \sigma(X) = \sqrt{np(1-p)} \)

Signification de \( \cap \) et \( \cup \) ?

\( A \cap B \) : A et B (les deux en même temps)

\( A \cup B \) : A ou B (au moins l'un des deux)

Combinatoire et Dénombrement

k-uplets (ou p-listes)

Combien de listes ordonnées de \(k\) éléments peut-on former à partir d'un ensemble de \(n\) éléments (avec répétition) ?

Il y a \(n\) choix pour chacun des \(k\) éléments de la liste.

\[n^k\]
Code PIN

Combien de codes secrets à 4 chiffres peut-on former (chiffres de 0 à 9) ?

k-uplets

Liste ordonnée de \(k=4\) éléments pris parmi \(n=10\), avec répétition.

\[10^4 = 10\,000\]
Arrangements

Combien de listes ordonnées de \(k\) éléments distincts peut-on former à partir d'un ensemble de \(n\) éléments (sans répétition) ?

C'est le nombre d'arrangements de \(k\) parmi \(n\), noté \(A_n^k\).

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]
Podium

Dans une course de 8 athlètes, combien de podiums possibles (Or, Argent, Bronze) ?

Arrangement

Liste ordonnée de \(k=3\) athlètes distincts choisis parmi \(n=8\).

\[A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\]
Combinaisons

Combien de sous-ensembles (sans ordre) de \(k\) éléments peut-on former à partir d'un ensemble de \(n\) éléments ?

C'est le nombre de combinaisons de \(k\) parmi \(n\), noté \(\binom{n}{k}\).

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
Loto

On tire 5 boules parmi 49. L'ordre ne compte pas. Combien de grilles possibles ?

Combinaisons

On choisit un sous-ensemble de \(k=5\) boules parmi \(n=49\).

\[\binom{49}{5} = 1\,906\,884\]
Permutations

De combien de manières peut-on ordonner les \(n\) éléments distincts d'un ensemble ?

C'est un arrangement de \(n\) parmi \(n\).

\[n!\]
Anagrammes

Combien d'anagrammes peut-on former avec les lettres du mot "MATHS" ?

Permutation

Il s'agit de trouver tous les ordres possibles des \(n=5\) lettres.

\[5! = 120\]
Ensemble des parties

Combien y a-t-il de sous-ensembles dans un ensemble à \(n\) éléments ?

On somme les combinaisons pour toutes les tailles \(k\) possibles.

\[\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\]
Pizza

Une pizzeria propose 6 ingrédients au choix. Combien de pizzas différentes peut-on composer (avec entre 1 et 6 ingrédients) ?

Ensemble des parties

On cherche le nombre total de sous-ensembles d'ingrédients possibles parmi \(n=6\).

\[2^6 = 64\]

Python

for i in range(5):
    print(i)
0
1
2
3
4

nombres = [10, 20, 5]
somme = 0
for n in nombres:
    somme = somme + n
print(somme)
35
c = 3
while c > 0:
    print(c)
    c = c - 1
print("Go !")
3
2
1
Go !
ma_liste = [10, 20, 30]
ma_liste[1] = 25
ma_liste.append(40)
print(ma_liste)
[10, 25, 30, 40]
def fonction(n):
    return n * n

resultat = fonction(9)
print(resultat)
81
nombres = [1, 12, 8, 15]
for n in nombres:
    if n > 10:
        print(n)
12
15

u = 10
n = 0
while u <= 50:
    u = u + 5
    n = n + 1
print(n)
9

u = 5
n = 0
while u <= 1000:
    u = u * 2
    n = n + 1
print(n)
8

u = 100
n = 0
while u > 0:
    u = u - 7
    n = n + 1
print(n)
15

fonction = [x**2 for x in range(5)]
print(fonction)
[0, 1, 4, 9, 16]